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\chapter{Exkurs: Die SECD-Maschine}\label{cha:secd}
Dieses Kapitel baut auf dem $\lambda$-Kalkül aus dem vorigen Kapitel auf.
Der $\lambda$-Kalkül ist als theoretisches Modell für berechenbare
Funktionen lange vor der Erfindung des Computers entwickelt worden.
Er bildet zwar die Grundlage für unsere Lehrsprachen, erklärt aber
nicht, wie diese eigentlich auf einem "<echten"> Computer ablaufen.
Moderne Mikroprozessoren werden in einer \textit{Maschinensprache}
programmiert, die sich erheblich vom $\lambda$-Kalkül unterscheidet.
Damit unsere Programme auf so einem Prozessor laufen können, müssen
sie in die Maschinensprache\index{Maschinensprache} übersetzt werden,
mit einem sogenannten \textit{Compiler}.
In diesem Kapitel beschreiben wir eine idealisierte Maschine, die zwar
so nie gebaut wurde, dessen Maschinensprache aber auf den gleichen
Prinzipien basiert wie reale Maschinen~-- die \textit{SECD-Maschine}.
Dann schreiben wir
einen Compiler vom $\lambda$-Kalkül in die SECD-Maschinensprache
und außerdem eine sogenannte
\textit{virtuelle Maschine}, die es uns erlaubt, die compilierten
Programme auch laufenzulassen.
\section{Der angewandte $\lambda$-Kalkül}
Abschnitt~\ref{sec:lambdaprog} auf Seite~\pageref{sec:lambdaprog}
zeigte bereits, dass sich auch boolesche Werte und Zahlen im
$\lambda$-Kalkül durch $\lambda$-Terme darstellen lassen. Das ist
zwar aus theoretischer Sicht gut zu wissen. Für die Praxis ist es
aber zu mühsam, immer mit Church-Numeralen zu arbeiten. Darum
erweitern wir den $\lambda$-Kalkül um einige Extras, so dass er mit
Zahlen und Booleans direkt umgehen kann.
Abschnitt~\ref{sec:lambdaprog} hat Dich hoffentlich überzeugt, dass
wir jederzeit auf die neuen Elemente verzichten könnten, indem wir sie
in die Terme aus Abschnitt~\ref{sec:lambdaprog} übersetzen.
Der resultierende erweiterte $\lambda$-Kalkül heißt
\textit{angewandter $\lambda$-Kalkül}:
\begin{definition}[Sprache des angewandten $\lambda$-Kalküls
$\mathcal{L}_{\lambda{}A}$]\index{angewandter $\lambda$-Kalkül}\label{def:lambda-angewandt}
Sei $V$ eine abzählbare Menge von Variablen, wie im
$\lambda$-Kalkül.
Sei $B$ eine Menge von \textit{Basiswerten\index{Basiswert}}. Zu
den Basiswerten gehören mindestens die booleschen Werte und die
natürlichen Zahlen, also:
%
\begin{displaymath}
B \deq{} \{ \texttt{\#f}, \texttt{\#t}, 0, 1, 2, \ldots \}
\end{displaymath}
%
Sei für eine natürliche Zahl $n$ jeweils $\Sigma^n$ eine Menge von
\textit{$n$-stelligen Primitiva\index{Primitivum}}~-- die Namen von
"<eingebauten Operationen">. Jedem $F\in\Sigma^n$ ist eine
$n$-stellige Funktion $F^{\textrm{op}}$~-- ihre \textit{Operation}~--
zugordnet.
Zum Beispiel könnte die Addition eine primitive Operation
$+\in \Sigma^2$ sein. Die Operation dazu wäre:
%
\begin{displaymath}
+^{\textrm{op}}(a, b) \deq a + b
\end{displaymath}
%
Die Sprache des angewandten
$\lambda$"=Kalküls, die Menge der \textit{angewandten
$\lambda$-Terme},
$\mathcal{L}_{\lambda{}A}$\index{L@$\mathcal{L}_{\lambda{}A}$}, ist
durch folgende Grammatik definiert:
\begin{grammar}
\meta{$\mathcal{L}_{\lambda{}A}$} \: \meta{$V$}
\> \| (\meta{$\mathcal{L}_{\lambda{}A}$} \meta{$\mathcal{L}_{\lambda{}A}$})
\> \| ($\lambda$\meta{$V$}.\meta{$\mathcal{L}_{\lambda{}A}$})
\> \| \meta{$B$}
\> \| (\meta{$\Sigma^1$}~\meta{$\mathcal{L}_{\lambda{}A}$})
\> \| (\meta{$\Sigma^2$}~\meta{$\mathcal{L}_{\lambda{}A}$}~\meta{$\mathcal{L}_{\lambda{}A}$})
\> \ldots
\> \| (\meta{$\Sigma^n$}~\meta{$\mathcal{L}_{\lambda{}A}$}~\ldots~\meta{$\mathcal{L}_{\lambda{}A}$}) \quad \textrm{($n$-mal)}
\end{grammar}
\end{definition}
\vspace{-3ex}
%
Die Grammatik ist abgekürzt notiert: Die letzen Klauseln besagen,
dass es für jede Menge von Primitiva \meta{$\Sigma^n$} mit
Stelligkeit $n$ eine entsprechende Klausel mit $n$ Operanden gibt.
Terme der Form $(F^n~e_1~\ldots~e_n)$ heißen
\textit{primitive Applikationen\index{primitive Applikation}}.
Im angewandten $\lambda$-Kalkül sind also
Terme wie zum Beispiel $(+~(-~5~3)~17)$ möglich, wenn $+$ und $-$ in
$\Sigma^2$ enthalten sind.
%
\begin{definition}[Werte im angewandten $\lambda$-Kalkül]\label{def:wert-angewandt}
Die Vereinigung aus Abstraktionen und
Basiswerten heißt \textit{Werte}.
\end{definition}
%
Damit die primitiven Operationen auch tatsächlich eine Bedeutung
bekommen, muss eine spezielle Reduktionsregel für sie eingeführt
werden:
%
\begin{definition}[$\delta$-Reduktion]\index{delta-Reduktion@$\delta$-Reduktion}
Für ein $n$-stelliges Primitivum $F\in\Sigma^n$ ist die
$\delta$-Reduktion so definiert:
\begin{displaymath}
(F~e_1~\ldots~e_n) \rightarrow_{\delta} F^{\textrm{op}}(e_1, \ldots, e_n)
\quad e_1, \ldots, e_n \in B
\end{displaymath}
\end{definition}
\vspace{-1ex}
%
Diese Regel besagt, dass eine primitive Applikation, wenn alle
Operanden Werte sind, durch Anwendung der entsprechenden Operation
reduziert werden kann. Damit wird zum Beispiel der
obige Beispielterm folgendermaßen reduziert:
%
\begin{displaymath}
(+~\underline{(-~5~3)}~17) \rightarrow_{\delta} \underline{(+~2~17)} \rightarrow_{\delta} 19
\end{displaymath}
%
\begin{aufgabeinline}
Es ist nicht möglich, Verzweigungen mit einer
$\delta$-Regel zu beschreiben. Warum? Zur Beantwortung dieser
Frage schreibe zunächst eine mögliche Definition der dazugehörigen
Funktion $F^\mathbf{if}$ hin. Bedenke nun, dass die
$\delta$-Reduktion erst dann greift, wenn alle Argumente von
$\mathbf{if}$ Werte sind. Könntest Du mit diesem $\mathbf{if}$ zum
Beispiel die Fakultät aus Abschnitt~\ref{sec:fixpunktsatz} auf
Seite~\pageref{sec:fixpunktsatz} definieren?
\end{aufgabeinline}
%
In den folgenden Abschnitten werden wir SECD-Maschine und Compiler
für den angewandten $\lambda$-Kalkül ohne binäre Verzweigungen
definieren. Wir wissen ja, wie wir sie mit den Mitteln aus
Abschnitt~\ref{sec:booleans} auf Seite~\pageref{sec:booleans}
definieren können.
Wir werden Dich bitten, binäre Verzweigungen als Ergänzung
direkt zu realisieren in einer Reihe von Übungsaufgaben. Hier ist die
erste davon:
%
\begin{aufgabeinline}
\begin{enumerate}
\item Erweitere den erweiterten $\lambda$-Kalkül um eine
Grammatik-Klausel für binäre Verzweigungen.
\item Definiere eine Reduktionsregel für binäre Verzweigungen,
analog zur $\delta$-Reduktion. (Du kannst Sie $\iota$-Reduktion
nennen~-- $\iota$ ist der griechische Buchstabe "<iota">.)
\end{enumerate}
\end{aufgabeinline}
\section{Die SECD-Maschine}
Leider läuft auf handelsüblichen Prozessoren der $\lambda$-Kalkül
nicht direkt. Stattdessen führen diese Prozessoren
sogenannte \textit{Maschinensprache}\index{Maschinensprache} aus.
Maschinensprache besteht aus einzelnen Anweisungen, die hintereinander
im Speicher abgelegt und auch hintereinander ausgeführt werden. Das
unterscheidet die Maschinensprache von unseren Lehrsprachen, die auf
dem Call-by-Value-$\lambda$-Kalkül\index{Call-by-Value-Reduktion}
aufbauen: Dort läuft die Auswertung von innen nach außen.
Um eine Brücke zwischen beiden Ideen zu schlagen, entwickelte Peter Landin
die SECD"=Maschine~\cite{Landin1964}. Die SECD-Maschine ist zwar über
50~Jahre alt, aber auch auf modernen Maschinen immer noch die
Grundlage für das Zusammenspiel zwischen Programmiersprache und
Maschinensprache. Die Sprache der SECD-Maschine ist eine idealisierte
Maschinensprache, die auch aus Anweisungen besteht, die
hintereinander ausgeführt werden. Viele Details echter
Maschinensprachen lässt die SECD-Maschine aber weg.
\begin{definition}[Sprache der SECD-Machine]\label{def:secd-code}
Die Anweisungen der SECD-Maschine heißen
\textit{Instruktionen}\index{Instruktion} und sind durch folgende Grammatik definiert:
\begin{grammar}
\meta{I} \: \meta{B}
\> \| \meta{V}
\> \| ap
\> \| prim$_{F^i}$ \textrm{für alle $F^i \in \Sigma^i$}
\> \| (\meta{V}, \meta{C})
\end{grammar}
%
Ein Maschinensprachen-Programm~-- auch genannt
\textit{Maschinencode}\index{Maschinencode} oder
\textit{Code}\index{Code} ist eine Folge von Instruktionen:
%
\begin{displaymath}
C \deq I^\ast
\end{displaymath}
\end{definition}
%
Diie SECD-Maschine operiert aber auf sogenannten
\textit{Maschinenzuständen}. Ein Maschinenzustand ist ein 4-Tupel aus der
Menge $S\times E\times C\times D$ (daher der Name der Maschine). Die
Buchstaben sind deshalb so gewählt, weil $S$ der sogenannte
\textit{Stack\index{Stack}}, $E$ die sogenannte
\textit{Umgebung\index{Umgebung}} beziehungsweise auf englisch das
\textit{Environment\index{Environment}}, $C$ der schon bekannte
Code und $D$ der
sogenannte \textit{Dump\index{Dump}} ist. Die formalen Definitionen
dieser Mengen sind wie folgt; dabei ist $W$ die Menge der Werte:
%
\begin{eqnarray*}
S &\deq& W^\ast\\
E &\subseteq& V\times W\\
D &\deq& (S\times E \times C)^\ast\\
W &\deq& B \cup (V\times C\times E)
\end{eqnarray*}
%
Der Stack ist eine Folge von Werten. In der Maschine sind dies
die Werte der zuletzt ausgewerteten Terme, wobei der zuletzt
ausgewertete Term vorn beziehungsweise "<oben"> steht. Die Umgebung ist eine
partielle Abbildung von Variablen auf Werte: sie ersetzt die
Substitution in der Reduktionsrelation des $\lambda$-Kalküls. Anstatt
dass Werte für Variablen eingesetzt werden, merkt sich die Umgebung
einfach, an welche Werte die Variablen gebunden sind. Erst wenn der
Wert einer Variablen benötigt wird, holt ihn die Maschine aus der
Umgebung.
Der Dump ist eine Liste früherer Zustände der Maschine:
Jeder Zustand ist ein Tupel aus Stack, Umgebung und Code, auch genannt
\textit{Frame}.\index{Frame} Ein Dump speichert den den
Kontext\index{Kontext}, dem wir in Abschnitt~\ref{sec:kontext} auf
Seite~\pageref{sec:kontext} begegnet sind.
Die Menge $W$ schließlich entspricht dem Wertebegriff aus
Definition~\ref{def:wert-angewandt}: Die Basiswerte gehören dazu,
außerdem 3-Tupel aus $(V\times C\times E)$. Ein solches Tripel,
genannt \textit{Closure}\index{Closure}, repräsentiert den Wert
einer Abstraktion. Eine Closure besteht aus der Variable einer Abstraktion,
dem Maschinencode ihres Rumpfs und der Umgebung, die notwendig ist, um
die Abstraktion anzuwenden: Die Umgebung wird benötigt, damit die
freien Variablen der Abstraktion entsprechend der lexikalischen
Bindung\index{lexikalische Bindung} ausgewertet werden können. Dies
ist anders als im Stepper, wo Variablen bei der
Applikation direkt ersetzt werden und damit verschwinden.
Die SECD-Maschine überführt einen Maschinenzustand durch einen
Auswertungsschritt in einen neuen Maschinenzustand.
Bei Umgebungen benutzen wir die Notation $e(v)$: Das steht für den Wert
$w$ des Tupels $(v, w)$ in $e$.
Im Verlauf der Auswertung werden Umgebungen häufig um neue Bindungen
von einer Variable an einen Wert erweitert. Dazu ist die Notation
$e[v\mapsto w]$ nützlich. $e[v\mapsto w]$ konstruiert aus einer
Umgebung $e$ eine neue Umgebung, in der die Variable $v$ an den Wert
$w$ gebunden ist. Hier ist die Definition:
%
\begin{displaymath}
e[v\mapsto w] \deq (e \setminus \{ (v, w') | (v, w') \in e \}) \cup \{
(v, w) \}
\end{displaymath}
%
Es wird also zunächst eine eventuell vorhandene alte Bindung entfernt
und dann eine neue hinzugefügt.
\emph{Achtung:} Die Notation $e[v\mapsto w]$ haben wir schonmal im
letzten Kapitel benutzt, nämlich für die Substitution beim
$\lambda$-Kalkül in Definition~\ref{def:substitution} auf
Seite~\pageref{def:substitution}. In diesem Kontext~-- bei der
SECD-Maschine~-- bedeutet die Notation etwas anderes. Lass Dich nicht
verwirren!
Um die Maschine zu verstehen, ist es sinnvoll, erst einmal zu
sehen, wie $\lambda$-Terme in SECD-Code umgewandelt werden.
Ein Term $e$ aus dem angewandten $\lambda$-Kalkül wird mit Hilfe der
Funktion $\llbracket \underline{~}\rrbracket$ in ein Maschinensprache-Programm
$\llbracket e\rrbracket$ übersetzt.\label{page:secd-translation}
%
\begin{eqnarray*}
\llbracket e \rrbracket &\deq&
\begin{cases}
b & \textrm{falls $e = b \in B$}\\
v & \textrm{falls $e = v \in V$}\\
\llbracket e_0\rrbracket~\llbracket e_1\rrbracket~\mathtt{ap}
& \textrm{falls $e = (e_0~e_1)$}\\
\llbracket e_1\rrbracket~\ldots~\llbracket e_k\rrbracket~\mathtt{prim}_{F^i}
& \textrm{falls $e = (F~e_1~\ldots~e_i)$}\\
(v, \llbracket e_0\rrbracket) & \textrm{falls $e = \lambda v.e_0$}
\end{cases}
\end{eqnarray*}
%
Zum Beispiel bedeutet die Übersetzung
$\llbracket e_0\rrbracket~\llbracket e_1\rrbracket~\mathtt{ap}$ für
einen Term $(e_0~e_1)$, dass $e_0$ und $e_1$ separat übersetzt werden.
Die Instruktionen der beiden Übersetzungen werden aneinandergehängt,
so dass die SECD-Maschine sie später auch hintereinander ausführt,
also erst $e_0$ auswertet, dann $e_1$. Wie wir sehen werden, wird die
SECD-Maschine die Ergebnisse der Auswertung von $e_0$ und $e_1$ auf
dem Stack plazieren. Die Instruktion $\mathtt{ap}$, die noch hinten
dazukommt, sorgt dann dafür, dass die SECD-Maschine die Ergebnisse von
$e_0$ (das muss die Funktion sein) und das Ergebnis von $e_1$ vom
Stack holt und das eine auf das andere anwendet. Entsprechend steht
$\mathtt{ap}$ für "<Applikation ausführen">. Außerdem steht
$\mathtt{prim}_{F^k}$ für "<Primitiv $F$ ausführen">.
Basiswerte und Variablen werden direkt in Maschinencode übersetzt.
Eine Abstraktion wird übersetzt in ein Tupel aus seiner Variable und
dem Maschinencode für seinen Rumpf. Alle diese Anweisungen
hinterlassen ihr Ergebnis jeweils auf dem Stack.
Hier ist ein Beispiel für die Übersetzung:
%
\begin{eqnarray*}
\llbracket \lambda f.\lambda x.\lambda y.f~(+~x~(*~y~2))\rrbracket
&=&
(f, \llbracket \lambda x.\lambda y.f~(+~x~(*~y~2))\rrbracket)\\
&=&
(f, (x, \llbracket \lambda y.f~(+~x~(*~y 2))\rrbracket))\\
&=&
(f, (x, (y, \llbracket f~(+~x~(*~y 2))\rrbracket)))\\
&=&
(f, (x, (y, \llbracket f\rrbracket \llbracket (+~x~(*~y
2))\rrbracket \mathtt{ap})))\\
&=&
(f, (x, (y, f \llbracket (+~x~(*~y 2))\rrbracket\mathtt{ap})))\\
&=&
(f, (x, (y, f \llbracket x\rrbracket \llbracket (*~y~2)\rrbracket \mathtt{prim}_+~\mathtt{ap})))\\
&=&
(f, (x, (y, f~x \llbracket (*~y~2)\rrbracket \mathtt{prim}_+~\mathtt{ap})))\\
&=&
(f, (x, (y, f~x \llbracket y\rrbracket \llbracket 2\rrbracket \mathtt{prim}_*~\mathtt{prim}_+~\mathtt{ap})))\\
&=&
(f, (x, (y, f~x~y \llbracket 2\rrbracket \mathtt{prim}_*~\mathtt{prim}_+~\mathtt{ap})))\\
&=&
(f, (x, (y, f~x~y~2~\mathtt{prim}_*~\mathtt{prim}_+~\mathtt{ap})))\\
\end{eqnarray*}
%
Das Beispiel zeigt deutlich, wie der Rumpf der innersten Abstraktion
in eine Folge von Instruktionen übersetzt wird, die der Reihenfolge
nach der Call-by-Value-Reduktionsstrategie entspricht: erst $f$
auswerten, dann $x$, dann $y$, dann das Primitiv $*$ anwenden, dann
$+$, und schließlich die Applikation durchführen.
\begin{aufgabeinline}
Übersetze folgende $\lambda$-Terme in die Zwischenrepräsentation
der SECD-Maschine:
%
\begin{enumerate}
\item \((\lambda \lrm x \lrm y.(+\:\lrm x\:\lrm y))\:(*\:5\:6)\:23\)
\item \((\lambda \lrm x.(!\:\lrm x))\:(\lambda \lrm x\lrm
y.(\&\&\:\lrm x\:\lrm y))\:((\lambda \lrm x\lrm y.(>\:\lrm x\:\lrm
y))\:23~42)\:\mathbf{true}\)
\item \((\lambda \lrm x\lrm y.\:\lrm y\:\lrm x\:\lrm x)\:(\lambda
\lrm z.\:\lrm z)\:(\lambda \lrm y\lrm z.\:(\lrm y\:\lrm y)\:(\lrm
y\:\lrm z))\)
\end{enumerate}
%
Dabei steht $!$ für das boolesche \lstinline{not} und $\&\&$ für das
boolesche \lstinline{and}.
\end{aufgabeinline}
%
Wir definieren nun die SECD-Maschine selbst. Diese macht immer einen
Schritt auf einmal und überführt einen Zustand $S$, $E$, $C$ und $D$
einen neuen Zustand, und zwar indem die erste Instruktion in $c$
"<abgearbeitet"> wird. Diese Überführung schreiben wir mit dem Symbol
$\hookrightarrow$, also
$(s, e, c, d) \hookrightarrow (s', e', c', d')$, wenn die
SECD-Maschine den Zustand $(s, e, c, d)$ in den Zustand
$(s', e', c', d')$ überführt.
In der folgenden
Definition von $\hookrightarrow$ sind Bezeichner mit einem Unterstrich
versehen, wenn es sich um Folgen handelt, also zum Beispiel \underline{s} für
einen Stack:
%
\begin{eqnarray}
çü (\underline{s}, e, b\underline{c}, \underline{d})
&\hookrightarrow&
(b\underline{s}, e, \underline{c}, \underline{d})
\label{secd:base}
\\
(\underline{s}, e, v\underline{c}, \underline{d})
&\hookrightarrow&
(e(v)\underline{s}, e, \underline{c}, \underline{d})
\label{secd:variable}
\\
(b_k\ldots b_1 \underline{s}, e, \mathtt{prim}_{F^k}\underline{c}, \underline{d})
&\hookrightarrow&
(b\underline{s}, e, \underline{c}, \underline{d})
\label{secd:prim}
\\ && \textrm{wobei $F^k\in\Sigma^k$ und $F^k_B(b_1,\ldots,b_k) = b$}\notag
\\
(\underline{s}, e, (v, \underline{c'}) \underline{c}, \underline{d})
&\hookrightarrow&
((v, \underline{c'}, e) \underline{s}, e, \underline{c}, \underline{d})
\label{secd:abstraction}
\\
(w (v,\underline{c'}, e') \underline{s}, e, \mathtt{ap}~\underline{c}, \underline{d})
&\hookrightarrow&
(\epsilon, e'[v\mapsto w], \underline{c'}, (\underline{s}, e, \underline{c}) \underline{d})
\label{secd:app}
\\
(w, e, \epsilon, (\underline{s'}, e', \underline{c'}) \underline{d})
&\hookrightarrow&
(w\underline{s'}, e', \underline{c'}, \underline{d})
\label{secd:return}
\end{eqnarray}
%
Um einen $\lambda$-Term $e$ in die SECD-Maschine zu "<injizieren">,
wird der Term in eine Folge von Instruktionen $c$ übersetzt~-- die
$C$-Komponente der SECD-Maschine. Daraus wird ein Anfangszustand
$(\epsilon, \varnothing, c, \epsilon)$ gemacht.
Die Regeln definieren eine Fallunterscheidung nach der ersten
Instruktion der Code"=Komponente des Zustands, beziehungsweise greift die letzte
Regel, wenn der Code leer ist. Der Reihe nach arbeiten die Regeln wie
folgt:
%
\begin{itemize}
\item Regel~\ref{secd:base} (die
\textit{Literalregel\index{Literalregel}}) schiebt einen Basiswert
direkt auf den Stack.
\item Regel~\ref{secd:variable} (die
\textit{Variablenregel\index{Variablenregel}}) ermittelt den Wert
einer Variable aus der Umgebung und schiebt diesen auf den Stack.
\item Regel~\ref{secd:prim} ist die
\textit{Primitivregel\index{Primitivregel}}. Bei einer primitiven
Applikation müssen soviele Basiswerte oben auf dem Stack liegen wie
die Stelligkeit des Primitivs. Dann ermittelt die Primitivregel das Ergebnis der
primitiven Applikation und schiebt es oben auf den Stack.
\item Regel~\ref{secd:abstraction} ist die
\textit{Abstraktionsregel\index{Abstraktionsregel}}: Das Tupel
$(v,\underline{c'})$ ist bei der Übersetzung aus einer Abstraktion
entstanden. Die Regel ergänzt $v$ und $\underline{c'}$ mit
$e$ zu einer Closure, die auf den Stack geschoben wird.
\item Regel~\ref{secd:app} ist die
\textit{Applikationsregel\index{Applikationsregel}}: Bei einer
Applikation müssen oben auf dem Stack ein Wert sowie eine Closure
liegen. (Zur Erinnerung: Eine Applikation kann nur ausgewertet
werden, wenn eine Abstraktion vorliegt. Abstraktionen werden zu
Closures ausgewertet.) In einem solchen Fall "<sichert"> die
Applikation den aktuellen Zustand auf den Dump, und die Auswertung fährt mit
einem leeren Stack, der Umgebung aus der Closure~-- erweitert um
eine Bindung für die Variable~-- und dem Code aus der Closure fort.
\item Regel~\ref{secd:return} ist die
\textit{Rückkehrregel\index{Rückkehrregel}}: Sie ist anwendbar,
wenn das Ende des Codes erreicht ist. Das heißt, dass gerade
die Auswertung einer Applikation fertig ist. Auf dem Dump liegt
aber noch ein gesicherter Zustand, der jetzt "<zurückgeholt"> wird.
\end{itemize}
%
Hier ein Beispiel für den Ablauf der SECD-Maschine für den Term
$(((\lambda x.\lambda y.(+~x~y))~1)~2)$:
% (secd-step*/tex (inject-secd '(((lambda (x) (lambda (y) (+ x y))) 1) 2)))
%
\begin{displaymath}
\small
\begin{array}{l@{}llll}
&(\epsilon, &\varnothing, &(x, (y, x~y~\mathtt{prim}_+))~1~\mathtt{ap}~2~\mathtt{ap}, &\epsilon)\\
\hookrightarrow{}&((x, (y, x~y~\mathtt{prim}_+), \varnothing), &\varnothing, &1~\mathtt{ap}~2~\mathtt{ap}, &\epsilon)\\
\hookrightarrow{}&(1~(x, (y, x~y~\mathtt{prim}_+), \varnothing), &\varnothing, &\mathtt{ap}~2~\mathtt{ap}, &\epsilon)\\
\hookrightarrow{}&(\epsilon, &\{(x, 1)\}, &(y, x~y~\mathtt{prim}_+), &(\epsilon, \varnothing, 2~\mathtt{ap}))\\
\hookrightarrow{}&((y, x~y~\mathtt{prim}_+, \{(x, 1)\}), &\{(x, 1)\}, &\epsilon, &(\epsilon, \varnothing, 2~\mathtt{ap}))\\
\hookrightarrow{}&((y, x~y~\mathtt{prim}_+, \{(x, 1)\}), &\varnothing, &2~\mathtt{ap}, &\epsilon)\\
\hookrightarrow{}&(2~(y, x~y~\mathtt{prim}_+, \{(x, 1)\}), &\varnothing, &\mathtt{ap}, &\epsilon)\\
\hookrightarrow{}&(\epsilon, &\{(x, 1), (y, 2)\}, &x~y~\mathtt{prim}_+, &(\epsilon, \varnothing, \epsilon))\\
\hookrightarrow{}&(1, &\{(x, 1), (y, 2)\}, &y~\mathtt{prim}_+, &(\epsilon, \varnothing, \epsilon))\\
\hookrightarrow{}&(2~1, &\{(x, 1), (y, 2)\}, &\mathtt{prim}_+, &(\epsilon, \varnothing, \epsilon))\\
\hookrightarrow{}&(3, &\{(x, 1), (y, 2)\}, &\epsilon, &(\epsilon, \varnothing, \epsilon))\\
\hookrightarrow{}&(3, &\varnothing, &\epsilon, &\epsilon)
\end{array}
\end{displaymath}
%
\begin{aufgabeinline}
Betrachte folgendes SECD-Programm:
%
\newcommand{\tuple}[2]{\ensuremath{(#1,#2)}}
%
\begin{center}
\tuple{f}{\tuple{x}{\tuple{y}{f\:x\:\texttt{ap}\:y\:\texttt{ap}}}}\:\tuple{a}{\tuple{b}{a\:b\:\texttt{prim}_+}}\:\texttt{ap}\:23\:\texttt{ap}\:42\:\texttt{ap}
\end{center}
%
\begin{enumerate}
\item Übersetze das SECD-Programm "<rückwärts"> in den entsprechenden
$\mathcal{L}_{\lambda{}A}$-Term.
\item Werte das SECD-Programm aus und schreibe die einzelnen
Auswertungsschritte auf!\qed
\end{enumerate}
\end{aufgabeinline}
%
Die Zustandsübergangsrelation $\hookrightarrow$ ist die Grundlage
für die \textit{Auswertungsfunktion\index{Auswertungsfunktion}} der
SECD-Maschine, die für einen $\lambda$-Term dessen Bedeutung
ausrechnet. Dies ist scheinbar ganz einfach:
%
\begin{eqnarray*}
\mathit{eval}_\mathit{SECD} & : & \mathcal{L}_{\lambda{}A} \rightarrow B\\
\mathit{eval}_\mathit{SECD}(e) &= & x \textrm{ wenn } (\epsilon, \varnothing, \llbracket e\rrbracket, \epsilon)
\hookrightarrow^* (x, e, \epsilon, \epsilon)
\end{eqnarray*}
%
Diese Definition hat jedoch zwei Haken:
%
\begin{itemize}
\item Die Auswertung von $\lambda$-Termen terminiert nicht immer (wie
zum Beispiel für den "<Endlos"=Term"> $(\lambda x.(x~x))~(\lambda x.(x~x))$), es kommt
also nicht immer dazu, dass die Zustandsübergangsrelation bei einem
Zustand der Form $(\epsilon, \varnothing, \llbracket e\rrbracket,
\epsilon)$ terminiert.
\item Das $x$ aus dieser Definition ist nicht immer ein Basiswert~--
es kann auch eine Closure sein.
\end{itemize}
%
Der erste Haken sorgt dafür, dass die Auswertungsfunktion nur eine
"<partielle Funktion"> ist. Beim zweiten
Haken, wenn $x$ eine Closure ist, lässt sich mit dem Resultat nicht
viel anfangen: Um die genaue Bedeutung der Closure herauszubekommen,
müsste sie angewendet werden~-- das Programm ist aber schon fertig
gelaufen. Es ist deshalb nicht sinnvoll, zwischen verschiedenen
Closures zu unterscheiden. Darum wird für die Zwecke der
Auswertungsfunktion eine Menge $Z$ der \textit{Antworten\index{Antwort}}
definiert, die einen designierten Spezialwert für Closures enthält:
%
\begin{displaymath}
Z \deq{} B \cup \{ \texttt{function} \}
\end{displaymath}
%
Damit können wir die Evaluationsfunktion wie folgt definieren:
%
\begin{eqnarray*}
\mathit{eval}_\mathit{SECD} & \in & \mathcal{L}_{\lambda{}A} \times Z\\
\mathit{eval}_\mathit{SECD}(e) & = &
\begin{cases}
b & \textrm{falls } (\epsilon, \varnothing, \llbracket e\rrbracket, \epsilon)
\hookrightarrow^* (b, e, \epsilon, \epsilon)\\
\texttt{function} & \textrm{falls } (\epsilon, \varnothing, \llbracket e\rrbracket, \epsilon)
\hookrightarrow^* ((v, \underline{c}, e'), e, \epsilon, \epsilon)\\
\end{cases}
\end{eqnarray*}
%
Diese Funktion wollen wir natürlich auch laufen sehen. Dafür
programmieren wir die mathematischen Definitionen im Rest des Kapitels
nach.
\begin{aufgabeinline}
Fahre fort mit der Realisierung von binären Verzweigungen:
\begin{enumerate}
\item Erweitere die Grammatik für SECD-Instruktionen um eine
Instruktion für binäre Verzweigungen. Die muss den Code für die
beiden Zweige des \lstinline{if}-Ausdrucks enthalten.
\item Erweitere die Funktion $\llbracket \underline{~}\rrbracket$
um eine Klausel für \lstinline{if}-Ausdrücke: Sie sollte zunächst
den Code für die Bedingung liefern, gefolgt von der neuen
Instruktion.
\item Erweitere die Definition von $\hookrightarrow$ um die neue
Instruktion.
\end{enumerate}
\end{aufgabeinline}
\section{\texttt{Quote} und Symbole}
\label{sec:quote}
\mentioncode{secd/compute.rkt}
%
Um die Definitionen möglichst elegant nachzuprogrammieren, machen wir
Gebrauch von einer weiteren
Sprachebene\index{Sprachebene!fortgeschritten} \texttt{Schreibe Dein Programm! -
fortgeschritten}. Diese Ebene muss mit dem \drscheme{}-Menü \texttt{Sprache}
unter \texttt{Sprache auswählen} aktiviert sein, damit die
Programme dieses Kapitels funktionieren.
Die entscheidende Änderung gegenüber den früheren Sprachebenen ist
die Art, mit der die REPL Werte ausdruckt. Bei Zahlen, Zeichenketten
und booleschen Werten bleibt alles beim alten:
%
\begin{lstlisting}
5
|\evalsto| 5
"Mike ist doof"
|\evalsto| "Mike ist doof"
#t
|\evalsto| #t
\end{lstlisting}
%
Bei Listen sieht es allerdings anders aus:
%
\begin{lstlisting}
(list 1 2 3 4 5 6)
|\evalsto| (1 2 3 4 5 6)
\end{lstlisting}
%
Die REPL druckt also eine Liste aus, indem sie zuerst eine öffnende
Klammer ausdruckt, dann die Listenelemente (durch Leerzeichen
getrennt) und dann eine schließende Klammer.
Das funktioniert auch für die leere Liste:
%
\begin{lstlisting}
empty
|\evalsto| ()
\end{lstlisting}
%
In der neuen Sprachebene kann das Apostroph\index{Apostroph}
Literale für Listen bilden:
%
\begin{lstlisting}
'(1 2 3 4 5 6)
|\evalsto| (1 2 3 4 5 6)
'(1 #t "Mike" (2 3) "doof" 4 #f 17)
|\evalsto| (1 #t "Mike" (2 3) "doof" 4 #f 17)
'()
|\evalsto| ()
\end{lstlisting}
%
In der neuen Sprachebene benutzen die Literale und die ausgedruckten
externen Repräsentationen für Listen also die gleiche
Notation\index{Repräsentation}. Sie unterscheiden sich nur dadurch,
dass beim Literal der Apostroph voransteht. Der Apostroph funktioniert
auch bei Zahlen, Zeichenketten und booleschen Werten:
%
\begin{lstlisting}
'5
|\evalsto| 5
'"Mike ist doof"
|\evalsto| "Mike ist doof"
'#t
|\evalsto| #t
\end{lstlisting}
%
Der Apostroph am Anfang eines Ausdrucks
kennzeichnet diesen also als Literal. Der Wert des Literals wird
genauso ausgedruckt, wie es im Programm steht. (Abgesehen von
Leerzeichen und Zeilenumbrüchen.) Der Apostroph heißt auf englisch
"<quote">\index{quote@\lstinline{quote}}, und deshalb ist diese
Schreibweise für Literale auch unter diesem Namen bekannt. Wir nennen
dieses Apostroph ab jetzt "<das Quote">. Bei Zahlen,
Zeichenketten und booleschen Literalen ist auch ohne Quote klar, dass
es sich um Literale handelt. Das Quote ist darum bei ihnen rein
optional; sie heißen \textit{selbstquotierend}\index{selbstquotierend}.
Bei Listen hingegen sind Missverständnisse mit anderen
zusammengesetzten Formen möglich, die ja auch mit einer öffnenden Klammer
beginnen.\footnote{Tatsächlich ist die neue Schreibweise für externe
Repräsentationen die Standard-Repräsentation in Racket. Die
früheren Sprachebenen benutzten die alternative Schreibweise, um die
Verwirrung zwischen Listenliteralen und zusammengesetzten Formen zu
vermeiden.}
Mit der Einführung von Quote kommt noch eine neue Sorte Werte
hinzu: die \textit{Symbole\index{Symbol}}. Symbole sind Werte ähnlich wie Zeichenketten und
bestehen aus Text. Sie unterscheiden sich allerdings dadurch, dass sie
als Literal mit Quote statt Anführungszeichen geschrieben und in der REPL ohne
Anführungszeichen ausgedruckt werden:
%
\begin{lstlisting}
'mike
|\evalsto| mike
\end{lstlisting}
%
Symbole können wir mit dem Prädikat
\lstinline{symbol?}\indexvariable{symbol} von anderen Werten
unterscheiden:
%
\begin{lstlisting}
(symbol? 'mike)
|\evalsto| #t
(symbol? "Mike")
|\evalsto| #f
\end{lstlisting}
%
Symbole sind auch der Grund, warum Listen nicht selbstquotierend sind.
Andernfalls wäre
missverständlich, ob \lstinline{(run-over-dillo d1)} eine Literal für
eine Liste
ergibt (mit den Symbolen \lstinline{run-over-dillo} und \lstinline{d1}
als Elementen) oder den Aufruf der Funktion
\lstinline{run-over-dillo}. Deswegen ist ein Quote notwendig.
Vergleichen können wir Symbole mit der eingebauten Funktion
\lstinline{equal?}~-- siehe dazu Abbildung~\ref{scheme:equalp}):
\begin{feature}{\texttt{equal?}}{scheme:equalp}
Die Funktion \texttt{equal?\indexvariable{equal?}} vergleicht beliebige Werte:
Booleans, Zeichen und Zeichenketten.
Bei Listen werden die Elemente verglichen und bei Records die Komponenten.
%
\begin{lstlisting}
(equal? 23 23)
|\evalsto| #t
(equal? #t #f)
|\evalsto| #f
(equal? "Axl" "Slash")
|\evalsto| #f
(equal? "Axl" "Axl")
|\evalsto| #t
(equal? (list "Axl" "Slash") (list "Axl" "Slash"))
|\evalsto| #t
(equal? (list "Axl" "Slash") (list "Axl" "Slash" "Duff"))
|\evalsto| #f
(equal? (make-wallclock-time 12 24) (make-wallclock-time 12 24))
|\evalsto| #t
(equal? (make-wallclock-time 12 24) (make-wallclock-time 12 25))
|\evalsto| #f
(equal? (make-wallclock-time 12 24) (list "Axl" "Slash"))
|\evalsto| #f
\end{lstlisting}
\end{feature}
\begin{lstlisting}
(equal? 'mike 'herb)
|\evalsto| #f
(equal? 'mike 'mike)
|\evalsto| #t
\end{lstlisting}
%
Symbole können nicht aus beliebigem Text bestehen;
Leerzeichen sind zum Beispiel verboten. Tatsächlich entsprechen die
Namen der zulässigen Symbole genau den Namen von Variablen:
%
\begin{lstlisting}
'karl-otto
|\evalsto| karl-otto
'lambda
|\evalsto| lambda
'+
|\evalsto| +
'*
|\evalsto| *
\end{lstlisting}
%
Diese Entsprechung wird in diesem Kapitel noch eine entscheidene Rolle
spielen. Symbole können natürlich auch in Listen und damit auch in
Listenliteralen vorkommen:
%
\begin{lstlisting}
'(karl-otto mehrwertsteuer duftmarke)
|\evalsto| (karl-otto mehrwertsteuer duftmarke)
\end{lstlisting}
%
Mit Hilfe von Symbolen können Werte konstruiert werden, die in der REPL
ausgedruckt wie Ausdrücke aussehen:
%
\begin{lstlisting}
'(+ 1 2)
|\evalsto| (+ 1 2)
'(lambda (n) (+ n 1))
|\evalsto| (lambda (n) (+ n 1))
\end{lstlisting}
%
Der Wert von \verb|'(+ 1 2)| ist eine Liste mit drei
Elementen: das Symbol \verb|+|, die Zahl \lstinline{1} und die Zahl
\lstinline{2}. Der Wert von \verb|'(lambda (n) (+ n 1))| ist ebenfalls
eine Liste mit drei Elementen: das Symbol \verb|lambda|, eine Liste
mit einem einzelnen Element, nämlich dem Symbol \lstinline{n}, und einer
weiteren Liste mit drei Elementen: dem Symbol \lstinline{+}, dem Symbol
\lstinline{n} und der Zahl \lstinline{1}.
Quote hat noch eine weitere verwirrende Eigenheit:
%
\begin{lstlisting}
''()
|\evalsto| '()
\end{lstlisting}
%
Dieses Literal bezeichnet nicht die leere Liste (dann würde nur
\lstinline{()} ausgedruckt, ohne Quote):
%
\begin{lstlisting}
(cons? ''())
|\evalsto| #t
(first ''())
|\evalsto| quote
(rest ''())
|\evalsto| (())
\end{lstlisting}
%
Der Wert des Ausdrucks \verb|''()| ist also eine Liste mit zwei
Elementen: das erste ist das Symbol \lstinline{quote} und das
zweite ist die leere Liste. \lstinline{'$t$}
ist selbst nur syntaktischer Zucker für
\lstinline{(quote $t$)}:
%
\begin{lstlisting}
(equal? (quote ()) '())
|\evalsto| #t
(equal? (quote (quote ())) ''())
|\evalsto| #t
\end{lstlisting}
%
Quote funktioniert für viele Werte, aber
nicht für alle. Ein Wert, für den Quote ein Literal konstruieren kann,
heißt \textit{repräsentierbar\index{repräsentierbarer Wert}}. Ein repräsentierbarer Wert ist
eins der folgenden:
%
\begin{itemize}
\item eine Zahl
\item ein boolescher Wert
\item eine Zeichenkette
\item ein Symbol
\item eine Liste aus repräsentierbaren Werten
\end{itemize}
%
Um zu demonstrieren, wozu Symbolen und Quote gut sind,
programmieren wir sowas wie einen Taschenrechner.
Der kann den Wert von Ausdrücken wir \lstinline{(+ 23 65)}
ausrechnen. Wir legen dafür folgende Datendefinition zugrunde:
%
\begin{lstlisting}
; Ein Ausdruck ist eins der folgenden:
; - eine Zahl
; - eine Liste der Form (+ Ausdruck Ausdruck)
; - eine Liste der Form (* Ausdruck Ausdruck)
\end{lstlisting}
%
Es handelt sich entsprechend der Formulierung "<eins der folgenden">
um gemischte Daten.
Um dafür
eine passende Signatur zu definieren, benötigen wir Signaturen
für alle Fälle. Für den ersten Fall tut es \lstinline{number}. Für
die beiden anderen ist es nicht ganz so einfach, weil es kein
\lstinline{define-record} gibt, das die Signatur einfach für uns
definiert. Wir müssen also die Signatur selbst definieren und machen
das mit Hilfe von Prädikaten für die beiden Fälle, die wir selbst schreiben.
Zur Erinnerung: Ein Prädikat\index{Prädikat} ist eine Funktion, die
einen beliebigen Wert akzeptiert, auf eine bestimmte Eigenschaft
testet und entsprechend entweder \lstinline{#t} oder \lstinline{#f}
zurückgibt. So etwas brauchen wir für die beiden Fälle, die mit
"<eine Liste der Form"> beginnen. Zunächst die Addition:
%
\indexvariable{addition?}
\begin{lstlisting}
; Ist ein Wert ein Additionsausdruck?
(: addition? (any -> boolean))
(check-expect (addition? '5) #f)
(check-expect (addition? '(+ 1 2)) #t)
(check-expect (addition? '(* 1 2)) #f)
(define addition?
(lambda (x)
(and (cons? x)
(equal? '+ (first x)))))
\end{lstlisting}
%
Beim Prädikat \lstinline{addition?} haben wir nur das nötigste
programmiert, um Additionen von den anderen Fällen zu unterscheiden:
\begin{aufgabeinline}
In der Datendefinition oben heißt es "<\texttt{eine Liste der Form (+
Ausdruck Ausdruck)}">. Gibt es Eingaben, bei denen
\lstinline{addition?} als Ergebnis \lstinline{#t} liefert, obwohl es
sich nicht um Listen genau dieser Form handelt? Wenn ja, nenne
Beispiele und ändere die Definition von \lstinline{addition?} so,
dass sie diese Beispiele ausschließt.\par % formatting hack to get a little bit more space
\end{aufgabeinline}
%
\begin{feature}{\texttt{predicate}}{feature:predicate}
Bei einer Signatur der Form
\begin{lstlisting}
(predicate $p$)
\end{lstlisting}
muss $p$ ein Prädikat, also eine Funktion mit folgender Signatur sein:
\begin{lstlisting}
(any -> boolean)
\end{lstlisting}
Diese Signatur passt für alle Werte, bei denen das Prädikat
\lstinline{#t} liefert.
\end{feature}
%
Aus dem Prädikat \lstinline{addition?} können wir eine Signatur
\lstinline{addition} machen mit Hilfe einer
Signatur mit \lstinline{predicate}. Das
\lstinline{predicate}-Konstrukt ist neu und in
Abbildung~\ref{feature:predicate} beschrieben.
Hier ist die Definition von
\lstinline{addition}:
%
\indexvariable{addition}
\begin{lstlisting}
(define addition
(signature (predicate addition?)))
\end{lstlisting}
%
Entsprechend machen wir das für Multiplikationen:
%
\indexvariable{multiplication?}
\indexvariable{multiplication}
\begin{lstlisting}
; Ist ein Wert ein Multiplikationsausdruck?
(: multiplication? (any -> boolean))
(check-expect (multiplication? '5) #f)
(check-expect (multiplication? '(* 1 2)) #t)
(check-expect (multiplication? '(+ 1 2)) #f)
(define multiplication?
(lambda (x)
(and (cons? x)
(equal? '* (first x)))))
(define multiplication
(signature (predicate multiplication?)))
\end{lstlisting}
%
Nun haben wir Signaturen für die drei Fälle und können damit eine
Signatur für Ausdrücke definieren:
%
\indexvariable{expression}
\begin{lstlisting}
(define expression
(signature (mixed number addition multiplication)))
\end{lstlisting}
%
Jetzt können wir den "<Taschenrechner"> programmieren. Hier sind
Kurzbeschreibung, Signatur und Testfälle:
%
\begin{lstlisting}
; Wert eines Ausdrucks berechnen
(: compute (expression -> number))
(check-expect (compute '23) 23)
(check-expect (compute '(+ 23 42)) 65)
(check-expect (compute '(+ 23 (* 6 7))) 65)
\end{lstlisting}
%
Die Funktionsdefinition geht strikt nach Konstruktionsanleitung. Hier
die Schablone:
%
\begin{lstlisting}
(define compute
(lambda (exp)
(cond
((number? exp) ...)
((addition? exp) ...)
((multiplication? exp) ...))))
\end{lstlisting}
%
Beim ersten Zweig ist \lstinline{exp} schon eine Zahl~-- die muss die
Funktion nur zurückgeben:
%
\begin{lstlisting}
(define compute
(lambda (exp)
(cond
((number? exp) exp)
((addition? exp) ...)
((multiplication? exp) ...))))
\end{lstlisting}
%
Beim \lstinline{addition}-Fall ist \lstinline{exp} eine Liste, deren
zweites und drittes Element jeweils wieder ein Ausdruck ist. Es
handelt sich also um zusammengesetzte Daten, allerdings nicht mit
einem Record definiert. Die Komponenten extrahieren wir mit
\lstinline{first} und \lstinline{rest}:
%
\begin{lstlisting}
(define compute
(lambda (exp)
(cond
((number? exp) exp)
((addition? exp)
... (first (rest exp)) ...
... (first (rest (rest exp))) ...)
((multiplication? exp) ...)))))
\end{lstlisting}
%
Außerdem haben wir es jeweils mit Selbstbezügen zu tun, also müssen noch
rekursive Aufrufe in die Schablone:
%
\begin{lstlisting}
(define compute
(lambda (exp)
(cond
((number? exp) exp)
((addition? exp)
... (compute (first (rest exp))) ...
... (compute (first (rest (rest exp)))) ...)
((multiplication? exp) ...)))))
\end{lstlisting}
%
Die beiden rekursiven Aufrufe liefern jeweils den Wert der beiden
Operanden der Addition; die muss die Funktion nur noch addieren. Bei
der Multiplikation läuft es genauso:
%
\indexvariable{compute}
\begin{lstlisting}
(define compute
(lambda (exp)
(cond
((number? exp) exp)
((addition? exp)
(+ (compute (first (rest exp)))
(compute (first (rest (rest exp))))))
((multiplication? exp)
(* (compute (first (rest exp)))
(compute (first (rest (rest exp)))))))))
\end{lstlisting}
%
Fertig!
%
\begin{aufgabeinline}
Ändere die Datendefinitionen so, dass Addition und Multiplikation
jeweils eine beliebige Anzahl von Argumenten akzeptiert, nicht nur
zwei. Ändere \lstinline{compute} entsprechend!
\end{aufgabeinline}