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\section{Differenzierbare Abbildungen}
\label{sec:diffabb}
\begin{definition}
Seien $M,N$ Mannigfaltigkeiten, $O\subset M$ offen und
$p\in O$. Eine Abbildung $f\colon O \to N$
heißt \emph{$k$-fach differenzierbar in $p$} (man sagt auch
\emph{ist $C^k$ in $p$}), falls $f$ stetig ist und für alle Karten $(U,\phi)$ um $p$
und alle Karten $(V,\psi)$ um $f(p)$ gilt, dass $\psi\circ
f\circ\phi^{-1} \colon phi(U\cap f^{-1}(V)) \to \psi(f(U)\cap V)$
$C^k$ in $\phi(p)$ ist. Die Abbildung $f$ ist
\emph{$C^k$ auf $O$}, falls für alle $p\in O$ gilt, dass $f$ $C^k$
in $p$ ist. Wir bezeichnen mit $C^k(O,N)$ die Abbildungen $f\colon O
\to N$ die auf ganz $O$ $C^k$ sind und speziell sei $C^k(O) :=
C^k(O,\R)$.
Eine Abbildung $f\colon O\to N$ heißt \emph{$C^k$-Diffeomorphismus},
falls $f$ bijektiv ist, $f$ $C^k$ auf $O$ ist und $f^{-1}$ $C^k$ auf
$N$ ist.
Zwei Mannigfaltigkeiten heißen \emph{$C^k$-diffeomorph}, falls es
einen $C^k$-Diffeomorphismus zwischen ihnen gibt.
\end{definition}
\textbf{VEREINBARUNG:} Differenzierbar oder glatt heißt bei uns immer
$C^\infty$. Ein Diffeomorphismus ist glatt (falls nicht anders erwähnt).
\begin{proposition}
Seien $M,N$ Mannigfaltigkeiten, $p\in M$ und $f\colon M \to
N$ stetig. Damit $f$ $C^k$ in $p$ ist genügt es, dass es eine Karte
$(U,\phi)$ um $p$ und eine Karte $(V,\psi)$ um $f(p)$ gibt, sodass
$\psi\circ f\circ \phi^{-1}$ $C^k$ in $\phi(p)$ ist.
Insbesondere
ist also $f\colon M \to \R$ $C^k$ in $p$, falls es eine Karte
$(U,\phi)$ um $p$ gibt, sodass $f\circ \phi^{-1}$ $C^k$ um $\phi(p)$ ist.
\end{proposition}
\begin{proposition}
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $(U,\phi)$ eine Karte. Dann ist
$\phi\colon U \to \phi(U)$ ein Diffeomorphismus.
\end{proposition}
\begin{proposition}
Seien $M,N,P$ Mannigfaltigkeiten, $f\colon M \to N$ und $g\colon
N\to P$ Abbilungen. Ist $f$ $C^k$ in $p$ und $g$ ist $C^k$ in
$f(p)$, so ist $g\circ f$ $C^k$ in $p$.
\end{proposition}
\begin{definition}
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Eine
\emph{Zerlegung der Eins auf $M$} ist eine
Familie $\set{\epsilon_i}_{i\in I}$ von Abbildungen, sodass
\begin{properties}
\item Die Menge $\set{\supp\epsilon_i}_{i\in I}$ ist lokal endlich,
\item $\epsilon_i \colon M \to \R$ ist glatt,
\item $0\leq \epsilon_i \leq 1$ und
\item $\sum_{i\in I}\epsilon_i(p) = 1$ für alle $p\in M$.
\end{properties}
Ist $\mathcal{U_j}_{j\in J}$ eine offene Überdeckung von $M$, so
heißt eine Zerlegung der Eins $\set{\epsilon_i}_{i\in I}$ der
Überdeckung $\mathcal{U_j}_{j\in J}$ \emph{untergeordnet}, falls es
für alle $i\in I$ ein $j\in J$ gibt, sodass $\supp\epsilon_i \subset
U_j$.
\end{definition}
\begin{proposition}
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und $\mathcal{U_j}_{j\in J}$ eine
offene Überdeckung von $M$. Dann gibt es eine abzählbare Zerlegung
der Eins $\set{\epsilon_i}_{i\in I}$, die $\mathcal{U_j}_{j\in J}$ untergeorddnet ist, sodass
$\supp\epsilon_i$ kompakt ist.
Verzichtet man auf die Kompaktheit des Trägers, so gibt es eine
Zerlegung der Eins $\set{\epsilon_j}_{j\in J}$ mit $\supp\epsilon_j
\subset U_j$ (gleicher Index!) wobei höchstens abzählbar viele
$\epsilon_j$ nicht identisch verschwinden.
\end{proposition}
\begin{korollar}
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit, $O\subset M$ offen und $A \subset O$
abgeschlossen. Dann gibt es eine glatte Abbildung $h\colon M \to
\R$, sodass $h|_A = 1$ und $h|_{M\setminus U} = 0$ und $0 \leq h
\leq 1$.
Eine solche Abbildung heißt \emph{Hutfunktion}.
\end{korollar}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "main"
%%% End: